Открытие сверхтекучих фаз ³Не в 1972 году выдвинуло проблему математического описания вихрей в этих сверхтекучих жидкостях. Вихри в жидкости характеризуются циркуляцией – интегралом от скорости по замкнутому контуру. Известно, что в отличие от обычных жидкостей, в которых циркуляция может принимать произвольное значение, циркуляция в сверхтекучем ⁴Не квантуется и равна N h/m. Здесь h – постоянная Планка, а m – масса атома ⁴Не. Таким образом, вихри характеризуются целым числом квантов циркуляции N. Это, в частности, означает, что вихревые линии либо замкнуты, либо заканчиваются на стенках или на свободной поверхности гелия.

Ситуация в сверхтекучем ³Не оказалась иной.  Было показано, что в сверхтекучей А фазе ³Не возможны вихревые нити со свободными концами [1]. Распределение сверхтекучей скорости вокруг таких вихрей совпадает с полем векторного потенциала  монополя Дирака [2]. Это удивительное теоретическое открытие наводило на мысль, что нужно искать какой-то общий  математический подход к описанию сингулярных и несингулярных распределений параметра порядка в сверхтекучих фазах ³Не. Такой подход был найден в работе Г.Е. Воловика и В.П. Минеева [3].

Идея проста: нужно рассматривать отображения реального пространства, заполненного упорядоченной средой, например сверхтекучим ³Не,  в область изменений параметра порядка, соответствующих разным состояниям сверхтекучей жидкости, но не изменяющих её энергию. Эта область была названа пространством вырождения. Стабильные сингулярные линии и точки и правила их слияния были классифицированы в соответствии с элементами гомотопических групп конкретного пространства вырождения и правилами их умножения. В отличие от подобного подхода, разработанного в то же время французскими учеными Ж.Тулузом и М.Клеманом [4], в статье [3] было показано, что топологическая устойчивость определяется энергией соответствующих взаимодействий, которые различны на разных пространственных масштабах. В результате, типы топологически стабильных дефектов на разных масштабах также различны.

    Большинство экзотических сингулярных и несингулярных течений в сверхтекучих фазах ³Не, описанных теоретически в 1976 году, было экспериментально обнаружено во вращающемся  жидком гелии в 1980-х  и 1990-х годах с помощью техники ядерного магнитного резонанса [5,6]. Среди более поздних экспериментальных достижений, основанных на предсказаниях, сделанных в работе [3], необходимо отметить открытия полуквантовых вихрей: в мезоскопических образцах спин-триплетного сверхпроводника Sr₂RuO₄ [7], в экситон-поляритонном конденсате [8],  в антиферромагнитном спинорном конденсате Бозе – Эйнштейна [9], в полярной фазе сверхтекучего ³Не [10].

      Прошло около сорока лет после развития топологического подхода к классификации дефектов в  упорядоченных средах.  После использования топологии для описания необычайно сложного упорядочения в сверхтекучих фазах ³Не   открылись новые области для её приложений. Также, как это было с другими математическими инструментами, топологические методы оказались весьма эффективными для описания многих явлений в различных областях физики. Классы Черна, скирмионы и инстантоны встречаются как в теории квантового эффекта Холла, так и в квантовой теории поля. Объекты, подобные монополю, наблюдаются в физике жидких кристаллов и спинового  льда, и недавно были обнаружены в Бозе – Эйнштейновском конденсате холодного газа атомов ⁸⁷Ru [11]. Группы кос применяются в теории квантовых компьютеров. Ещё одна важная и обширная область применения топологии появилась с открытием так называемых топологических изоляторов и теоретическими исследованиями топологических сверхпроводников и сверхтекучих жидкостей [12].

[1] G. E. Volovik and V. P. Mineev, Pis’ma Zh.Exp. Teor. Fiz. 23, 647 (1976)[JETP Lett. 23, 593 (1976)].

[2] P.A.M. Dirac, Proc. R.Soc. A 133, 60 (1931).

[3] G. E. Volovik and V. P. Mineev, Pis’ma Zh.Exp. Teor. Fiz. 24, 605 (1976)[JETP Lett. 24, 562 (1976)].

[4] G. Toulouse and M. Kleman, J. de Phys. Lettr. 37, L-149 (1076).

[5] M. M. Salomaa, G. E.Volovik, Rev. Mod. Phys. 59, 533 (1987).

[6] O. V. Lounasmaa, E. Thuneberg, Proc. Natl. Acad. Sci. 96, 7760 (1999).

[7] J.Jang, D. G. Ferguson, V. Vakaryuk et al., Science 331, 186 (2011).

[8] K. G. Lagourdakis, T.Ostatnicky, A.V. Kavokin et al., Science 326 974 (2009).

[9] Sang Wong Seo, Seji Kang, Woo Jin Kwon, and Yong-il Shin, Phys. Rev.Lett. 115, 015301 (2015).

[10] S. Autti, V. V. Dmitriev,V.B. Eltsov et al, arXiv:1508.02197[cond-mat.]

[11] M. W. Ray, E. Ruokokoski, S. Kandel et al, Nature 505, 657 (2014).

[12] T. Mizushima, Y. Tsutsumi, T. Kawakami et al, arXiv:1508.00787 [cond-mat.]