В.Э. Адлер, ИТФ им. Л.Д. Ландау

Статья посвящена приложениям следующего замечательного преобразования. Несложное вычисление показывает, что если $\psi(x,\lambda)$ общее решение уравнения

\[ \psi''=(u(x)-\lambda)\psi,\]

а $\psi_0(x)$ частное решение, отвечающее значению $\lambda=\lambda_0$, то

функция

\[ \tilde\psi=\psi'-w\psi,\quad w=\psi'_0/\psi_0\]

удовлетворяет уравнению того же вида, но с новым потенциалом $\tilde u=u-2w'$.Впервые это наблюдение было сделано в работе Дарбу [1], и впоследствии переоткрыто Шрёдингером [2,3] в контексте квантовой механики. Последовательность преобразований Дарбу описывается операторами $H_n=d^2/dx^2-u_n$, $Q^\pm_n=d/dx\pm w_n$, связанных соотношениями факторизации

\[ H_n+\lambda_n=Q^+_nQ^-_n \quad\mapsto\quad H_{n+1}+\lambda_n=Q^-_nQ^+_n, \]

что эквивалентно цепочке дифференциально-разностных уравнений

\[ u_n=w'_n+w^2_n+\lambda_n,\quad  w'_n+w'_{n+1}=w^2_n-w^2_{n+1}+\lambda_n-\lambda_{n+1}.\]

Любое решение этих уравнений порождает семейство операторов $H_n$ с $\psi$-функциями, явно вычисляемыми при всех $\lambda=\lambda_n$; операторы $Q^\pm_n$ играют роль операторов рождения-уничтожения. Как оказалось, практически все точно-решаемые модели квантовой механики (гармонический осциллятор, задача Кеплера, сферические гармоники, безотражательные потенциалы, потенциалы Морса, Пёшля--Теллера и т.д.) допускают единообразное описание в рамках этого метода [4,5]. При этом,

функции $w_n$, отвечающие разным $n$, имеют один и тот же вид и отличаются только значениями параметров.

Формулировка этого свойства {\em форм-инвариантности} и является основным результатом работы Генденштейна. В дальнейшем, эта идея получила развитие в работах Шабата, Веселова, Спиридонова [6-8] и др., в которых были введены новые семейства точно-решаемых потенциалов (в отличие от рассматривавшихся ранее, они выражаются не через элементарные функции, а через трансценденты Пенлеве и их обобщения).

Преобразование Дарбу допускает обобщение и для нестационарного уравнения Шрёдингера, и для других спектральных задач. Следует отметить его прямую связь с суперсимметрией [9-11] и с преобразованиями Бэклунда для нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния [12,13, 7]. Развитие этих теорий, происходившее в 1970--90 гг., шло параллельно и рассматриваемая статья оказала заметное влияние на эти исследования.

[1] G. Darboux. Sur une proposition relative aux ´equations lin´eaires. Compt. Rend. Acad. Sci. 94 (1882) 1456–1459. [arXiv:physics/9908003]
[2] E. Schr¨odinger. A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions. Proc. Roy. Irish Acad. A 46 (1940/1941) 9–16. [Перевод: Э. Шредингер, Избранные труды по квантовой механике, М.: Наука,  1976]
[3] E. Schrodinger. Further studies on solving eigenvalue problems by factorization. Proc. Roy. Irish Acad. A 46 (1940/1941) 183–206.
[4] L. Infeld, T.E. Hull. The factorization method. Rev. Modern Phys. 23:1 (1951) 21–68. [Перевод: "Математика"'  10:3 (1966) 39]
[5] M.M. Crum. Associated Sturm-Liouville systems. Quart. J. Math. Oxford Ser. 2 6 (1955) 121–127.
[6] A.B. Shabat. The infinite-dimensional dressing dynamical system. Inverse Problems 8 (1992) 303–308.
[7] А.П. Веселов, А.Б. Шабат.  Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шредингера.Функц. анализ 27:2 (1993) 1-21.
[8] V. Spiridonov. Exactly solvable potentials and quantum algebras. Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 398–401.
[9] E. Witten. Dynamical breaking of supersymmetry. Nucl. Phys. B 188:3 (1981) 513–554.
[10]  Л.Э. Генденштейн, И.В. Криве.  Суперсимметрия в квантовой механике. Усп. физ. наук 146:4 (1985) 553–590.
[11]  В.Г. Багров, Б.Ф. Самсонов.  Преобразование Дарбу, факторизация, суперсимметрия в одномерной  квантовой механике. Теор. Мат. Физ. 104:2 (1995) 356–367.
[12] H.D. Wahlquist, F.B. Estabrook. B¨acklund transformations for solutions of the Korteweg–de Vries equation. Phys. Rev. Let. 31:23 (1973) 1386–1390.
[13] V.B. Matveev. Darboux transformation and explicit solutions of the Kadomtcev-Petviaschvily equation, depending on functional parameters. Lett. Math. Phys. 3:3 (1979) 213–216.