Л.Н. Булаевский

Institute of Theoretical Physics, ETH, Zurich, Switzerland

Theoretical Division, Los Alamos National Laboratory, Los Alamos, New Mexico 87545, USA

О статье   SUPERCONDUCTING SYSTEM WITH WEAK COUPLING TO CURREN GROUND-STATE  BULAEVSKII  L.N.,  KUZII  V.V., SOBYANIN A.A. (1977)     

В статье Письма в ЖЭТФ, 25, 314, 1977 Булаевский, Собянин  и Кузий (БСК) рассмотрели  джозефсоновский СИС переход с изолятором (И) между двумя обычными синглетными s-волновыми сверхпроводниками (С) в ситуации когда изолятор И содержит магнитные примеси с большой концентрацией. Ранее Кулик (ЖЭТФ, 49, 1211, 1965) показал, что магнитные примеси в изоляторе И уменьшают сверхпроводящий критический ток из-за того, что  туннелирование куперовской  пары с противоположными спинами электронов через магнитные примеси даёт отрицательный вклад  в критический ток и энергию переходов, в то время как  туннелирование через немагнитные атомы даёт положительный вклад. БСК показали, что если туннелирование через магнитные примеси доминирует, то критический ток оказывается отрицательным, и разность фаз в основном состоянии перехода равна $\pi$, а не 0 как в обычных джозефсоновских переходах. Они назвали такой переход пи-переходом. Как в случае пи-перехода, так и обычного 0-перехода ток в основном состоянии отсутствует. Однако, если закоротить пи-переход обычным сверхпроводником и если индуктивность кольца будет достаточно велика, основное состояние системы будет состоянием со спонтанным током текущим через переход, причем направление тока оказывается случайным. Этот ток приводит к появлению измеримого магнитного поля и, соответственно, потока в кольце. Магнитный поток при этом может принимать значения между 0 и половиной кванта потока в зависимости от индуктивности кольца.

Через четыре года Булаевскии, Буздин и Панюков (Письма в ЖЭТФ, 35, 147,  1981) показали что пи-переход можно реализовать в СФС системе с ферромагнетиком (Ф) в качестве слабой связи, потому что обменное поле в Ф приводит к осцилляции разности фаз на переходе в зависимости от толщины ферромагнитного слоя. Эта толщина может быть выбрана так, что разность фаз на противоположных краях Ф-слоя будет равна $\pi$, что приводит к отрицательному критическому току. Экспериментально такой пи-переход был реализован 20 лет позднее Рязановым с сотрудниками (Phys. Rev. Lett., 86, 2427, 2001).

В 1987 г. Гешкенбейн, Ларкин и Бароне (Phys. Rev. B, 36, 235, 1987) показали что система СС’С с тяжёлофермионным  p-волновым сверхпроводником (С’) ведёт себя аналогично пи-переходу, поскольку сверхпроводящий параметр порядка в p-волновом сверхпроводнике меняет знак на краях кристалла с перпендикулярной кристаллографической ориентацией. Это наблюдение оказалось очень полезным для доказательства того, что высокотемпературные сверхпроводники на основе меди имеют d-волновое куперовское спаривание, при котором знак параметра порядка  меняется при изменении ориентации на 90 градусов. Действительно, Тсуи и Киртлей (Tsuei, Kirtley, Rev. Mod. Phys. 72, 969, 2000) изготовили первый пи-переход, используя разные грани на угловом краю кристалла YBCO и доказали однозначно, что этот  сверхпроводник  имеет d-волновое спаривание.

Позднее было экспериментально доказано также что СИС система  с большой концентрацией магнитных примесей обладает сверхпроводящим током в основном состоянии, так как области с пи- и 0-переходами появляются внутри перехода из-за вариации концентрации примесей (O. Vavra et al., Phys. Rev. B, 74, 020502, 2006).

B настоящее время известно много методов получения фазового p-сдвига внутри джозефсоновских переходов (см.  Schulz et al. Appl. Phys. Lett., 76, 912, 2000: J.J.A. Bazelmans, et al., Nature, 397, 43, 1999; J-P. Cleuziou, et al,. Nature Nanotechnology, 1, 53, 2006).

Пи-переходы находят применение, например, в качестве фазосдвигающих элементов в структуре кубитов для уменьшения шумов в этих квантовых системах.

О.А. Панкратов

University of Erlangen-Nürnberg, Germany

Открытие топологических изоляторов [1] и последующий всплеск интереса к топологически устойчивым электронным состояниям на поверхностях и границах раздела в твердых телах сослужили хорошую службу нашей статье 1985 года [2]. То, что в 1985 году представлялось интересной но экзотической возможностью, оказалось предвестником нового квантового типа материи. Более того, полупроводниковые соединения с инверсией зон $Pb_{1-x}Sn_xTe$ , которые мы рассматривали в качестве модельной системы, в самом деле оказались топологическими изоляторами [3].

Динамика Блоховских электронов может радикально отличаться от поведения свободных Шредингеровских частиц. Так, в полупроводниках с узкой запрещенной зоной доминируют две близлежащие ветви спектра, зона проводимости и валентная зона. Эти зоны хорошо описываются релятивистским спектром Дирака, причем ширина запрещенной зоны $\varepsilon _{g}$ играет роль $2mc^2$. Однако в отличие от «настоящих» Дираковских частиц здесь важна не только величина но и знак $\varepsilon _{g}$ определяющий взаимное расположение зон.  Последнее физически наблюдаемо, поскольку края зон «помечены» различной симметрией Блоховских волновых функций. Так, в $PbTe$, зона проводимости нечетна, а валентная зона четна. В этом случае, по соглашению, $\varepsilon > 0$  и имеет место  «нормальное» расположение зон. Напротив, в $SnTe$ зоны инвертированы т.е. «четная» зона лежит выше «нечетной» и $\varepsilon < 0$. Вопрос, которым мы с Б.А. Волковым задались в 1985 году был: что произойдет если привести в контакт два материала со взаимно инвертированными зонами? Подобный «инверсный» контакт можно было бы осуществить, например, меняя по мере роста кристалла состав в сплавах  $Pb_{1-x}Sn_xTe$, где зоны инвертируют с увеличением содержания олова. Ответ дает решение уравнения Дирака с пространственно зависящей запрещенной зоной  $\varepsilon _{g}(Z)$. Оказалось, что независимо от конкретного вида функции $\varepsilon _{g}(Z)$ это уравнение всегда имеет локализованное на границе раздела решение – при единственном условии, что $\varepsilon _{g}(Z)$ меняет знак на этой границе. В (идеальной) плоскости контакта решение, разумеется, представляет собой плоскую волну. При этом энергия линейно зависит от импульса – в точности как у «дираковских» электронов в графене [4]. Однако в отличие от графена спиновая структура этих состояний фиксирована т.е. имеет место гигантское спиновое расщепление. Ввиду отсутствия спиновой степени свободы динамика двумерных пограничных частиц описывается уравнением Вейля. Таким образом, эти состояния обладают всеми свойствами поверхностных состояний в топологических изоляторах [1]. Последние были в то время, разумеется, неизвестны. В своей работе мы отметили лишь сходство с солитонными состояниями в одномерных Пайерлсовских цепочках [5].

Во второй части статьи мы нашли уровни Ландау пограничных состояний в поперечном к плоскости контакта магнитном поле. Простое вычисление дает неэквидистантный спектр $\varepsilon (n)=\pm (\surd 2n \hbar \nu)/L$    где параметр $\nu$ аналогичен скорости света в релятивистском Гамильтониане и  $L$ – магнитная длина. Эта формула впоследствии многократно обсуждалась в связи с аномальным квантовым эффектом Холла в графене [4]. Из спектра уровней Ландау легко находится диамагнитная восприимчивость и квантовые осцилляции магнитного момента которые, как мы тогда надеялись, могли бы помочь идентифицировать вейлевские пограничные состояния в эксперименте.

Насколько мне известно, инверсный контакт на основе  $Pb_{1-x}Sn_xTe$ так и не был синтезирован. Зато в 2007 году появилось экспериментальное сообщение [6] о первом топологическом изоляторе - «инверсной» квантовой яме $CdTe/HgTe/CdTe$. В самом деле, в сплавах $Cd_{1-x}Hg_xTe$ также имеет место инверсия зон и, следовательно, возможны вейлевские состояния. Эту возможность мы тоже обсуждали в публикации 1987 года [7]. Здесь ситуация несколько усложнена тем, что одна из инвертирующих зон вырождена (содержит ветви тяжелых и легких дырок) благодаря чему инверсное состояние (реализующееся, например, в $HgTe$) является металлом или, точнее, полупроводником с нулевой запрещенной зоной. Это не благоприятно для существования хорошо определённых пограничных состояний. Преимущество квантовой ямы в том, что здесь пространственное квантование расщепляет вырожденную зону так что система становится изолятором и топологические состояния на ее гранях хорошо определены.

Возвращаясь к $Pb_{1-x}Sn_xTe$, теперь стало ясно, что здесь вовсе нет необходимости синтезировать инверсный контакт чтобы увидеть вейлевские состояния. Достаточен «контакт» с вакуумом т.е. поверхность! Поскольку «заинверсный» материал $SnTe$ сам по себе является топологическим изолятором, на его поверхности всегда существуют вейлевские состояния.  Их топологическая устойчивость (несмотря на четное число зонных экстремумов в зоне Бриллюэна) гарантирована симметрией кристалла [8].

Таким образом, модель, рассмотренная нами почти 30 лет назад, оказалась первым примером топологического изолятора. Происхождение топологической нетривиальности зонного спектра здесь легко проследить опираясь на теорию сильной связи [9,10] которую мы с Б.А. Волковым развивали для полупроводников этого класса в начале 80-х годов и которая натолкнула нас на вопрос: что произойдет если привести в контакт два полупроводника с противоположными знаками запрещенной зоны?

[1] M.Z. Hasan and C.L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82 (2010) 3045.

[2]   B.A. Volkov and O.A. Pankratov,  JETP Letters 42, 145 (1985)

[3] Y. Tanaka, Zhi Ren, T. Sato, K.Nakayama, S. Souma, T.Takahashio, K.Segawa, and Y. Ando, Nature Phys. 8 (2012) 800.

[4] Castro Neto, A.H.F. Guinea, N.M.R. Peres, K.S. Novoselov, and A.K.Geim, Rev. Mod. Phys. 81 (2009) 109.

[5] S.A. Brazovskii, Zh.Eksp. Theor. Fiz. 78 (1980) 677 [Sov. Phys. JETP 51 (1980) 342.

[6] M. Koenig, H. Buhmann, L.W. Molenkamp, T. Hughes, C.X. Liu, X.L. Qui, and S.C. Zhang, Science, 318 (2007) 766.

[7] O.A. Pankratov, S.V. Pakhomov, and B.A. Volkov, Solid State Comm. 61 (1987) 93.

[8] T.H. Hsieh, H. Lin, J. Liu, W. Duan, A. Bansil, and L. Fu, Nature Comm. 3 (2012) 982.

[9] B.A. Volkov and O.A. Pankratov, Zh.Eksp. Theor. Fiz. 75 (1978) 1362 [Sov. Phys. JETP 51 (1980) 34.

[10] B.A. Volkov, O.A. Pankratov, and A.V. Sazonov, Zh.Eksp. Theor. Fiz. 85 (1983) 1395 [Sov. Phys. JETP 51 (1980) 34.

Э.Б. Ягубский

ИПХФ РАН

Работа [1] явилась результатом 17-летнего целенаправленного поиска органических сверхпроводников. В 1966 году И.Ф. Щеголев собрал команду из физиков, химиков и кристаллографов при Отделении Института химической физики в Черноголовке и поставил перед ними задачу создания органических сверхпроводников. Толчком к постановке этой задачи явилась работа  физика-теоретика У. Литтла, который в 1964 году предложил новый, электрон-электронный (экситонный) механизм сверхпроводимости и гипотетическую высокотемпературную сверхпроводящую макромолекулу для его реализации. Модель Литтла представляет собой линейную проводящую полиеновую цепочку, содержащую легко поляризующиеся заместители, колебания электронов которых должны были обеспечить эффективное притяжение между проводящими электронами, и, как результат, привести к сверхпроводимости с высокой критической температурой $T_c$.

 Хотя аргументы и расчеты Литтла не были достаточно строгими, его работа привлекла большое внимание. Это можно понять, поскольку в то время традиционное направление, связанное с созданием сверхпроводящих сплавов, себя в значительной степени исчерпало. Несмотря на все усилия физиков, металлургов и материаловедов, критическая температура сверхпроводящего перехода, достигнув 18 К, не росла уже в течение 15 лет. К тому же появились теоретические работы, которые утверждали, что фононный механизм, который работает в традиционных сверхпроводниках, в принципе не может привести к $T_c$ выше 30 -40 $K$. Перед нами встал вопрос выбора объектов исследования. Следует, однако, отметить, что в то время не то что сверхпроводников, но и нормальных органических металлов не существовало, а сама проблема возможных состояний в линейных электронных системах была далека от какой-либо ясности. Щеголев сразу сделал выбор в пользу молекулярных проводящих кристаллов, а не проводящих полимеров. Предполагалось, что поиск органических сверхпроводников будет долгим и этот поиск мог привести к успеху только через последовательный анализ связи структуры и электронных свойств. Сейчас можно сказать, что такая стратегия исследований себя полностью оправдала.

 Органические сверхпроводники были открыты в начале восьмидесятых годов среди молекулярных кристаллов, тогда как полимерные органические сверхпроводники до сих пор не получены. На начальной стадии наших исследований мы остановили свой выбор на кристаллах анион-радикальных солей тетрацианохинодиметана (TCNQ), которые незадолго до этого были синтезированы в США и некоторые из которых имели довольно высокую проводимость при комнатной температуре (~100    $Ohm^{-1}cm^{-1}$), но их физические свойства практически не были исследованы. Плоские молекулы TCNQ легко присоединяют один электрон и образуют стабильные анион-радикалы, которые упаковываются в кристаллах солей TCNQ один над другим, образуя непрерывные стопки. Анизотропный характер волновых функций  электронов приводит к заметному перекрыванию молекулярных  орбиталей в направлении, перпендикулярном к плоскости молекул TCNQ, и в результате к довольно высокой проводимости вдоль стопок при комнатной температуре, тогда как проводимость в поперечных направлениях на несколько порядков ниже. Таким образом образуются квазиодномерные проводящие цепочки. Электрический ток может протекать в них практически в одном направлении, как и в гипотетической полимерной молекуле Литтла. Однако, к середине 70-тых годов изучение квазиодномерных проводников ясно показало, что одномерные системы неблагоприятны для создания сверхпроводников, поскольку в них очень сильны разного рода диэлектрические нестабильности, прежде всего связанные с влиянием неупорядоченности и пайерлсовским переходом металл-изолятор. Чтобы двигаться к сверхпроводимости, надо было уходить от одномерности. Требовалось увеличить перекрытие электронных волновых функций молекул соседних стопок с тем, чтобы движение электронов не ограничивалось только одним направлением.

  В 1977г. мы синтезировали катион-радикальную соль $(TSeT)_2Cl$ (хлорид тетраселенотетрацена), который имеет до сих пор рекордную для органических молекулярных соединений проводимость при комнатной температуре ($2,5 10^3 $ $Ohm^{-1}cm^{-1}$ вдоль направления стопок TSeT). Наличие в молекуле TSeT четырех больших атомов селена приводит к некоторому перекрыванию волновых функций -орбиталей в поперечном направлении (поперек стопок). В результате движение электронов становится "не таким одномерным" и при низкой температуре (27$K$) в $(TSeT)_2Cl$ происходит переход не металл-диэлектрик, а металл-полуметалл. Через год выяснилось, что при наложении на кристаллы $(TSeT)_2Cl$ небольшего давления (4,5 кбар) этот переход вообще подавляется, и соединение сохраняет свойства металла (  = 105 $ Ohm^{-1}cm^{-1}$ при 4.$K$).

   Хотя этот первый реально стабильный органический металл оказался несверхпроводящим, сам факт существования стабильного металлического состояния в органических соединениях означал, что органическая сверхпроводимость возможна. Металлам свойственно становиться сверхпроводниками. Так оно вскоре и случилось. В 1979г. К. Бекгард из Института имени Эрстеда в Копенгагене синтезировал катион-радикальную соль на основе другого селеносодержащего донора, тетраметилтетраселенофульвалена, состава $(TMTSeF)_2PF_6$, которая показала переход металл-изолятор при очень низких температурах (12 $K$). Через год группа Д. Жерома из Парижского университета обнаружила, что при давлении 11 кбар этот переход полностью подавляется и соль $(TMTSeF)_2PF_6$ переходит в сверхпроводящее состояние при температуре 0.9$K$. Так был открыт первый органический сверхпроводник.

   В течение 1981-1983гг. было обнаружено еще 6 сверхпроводников на основе солей TMTSeF с октаэдрическими и тетраэдрическими анионами, среди них только один сверхпроводник при нормальном давлении, перхлорат $TMTSeF$, $(TMTSeF)_2ClO_4$. с $T_c = 1.2K$. Однако, вскоре стало ясно, что область органических сверхпроводников на основе солей $TMSeF$ довольно ограничена. Все 7 сверхпроводников семейства TMTSeF изоструктурны и имеют низкие значения $T_c$ (1-2 $K$). Попытки расширить число сверхпроводников путем варьирования противоионов в солях $TMTSeF$ оказались безуспешными. Следующий принципиально важный шаг в области органической сверхпроводимости был сделан в Черноголовке. В 1983г. мы синтезировали первый квазидвумерный органический сверхпроводник при нормальном давлении: трииодид бис(этилендитио)тетратиафульвалена, $(BEDT-TTF)_2I_3$ c $T_c$ = 1.4$K$.

   В отличие от квазиодномерных сверхпроводников семейства $TMTSeF$, $(BEDT-TTF)_2I_3$ имеет квазидвумерную поверхность Ферми. В структуре этой соли катион-радикальные слои BEDT-TTF чередуются со слоями из анионов $I_3$. Проводимость в слоях BEDT-TTF практически изотропна, тогда как в направлении, перпендикулярном слоям, она на три порядка ниже. Повышение электронной размерности солей BEDT-TTF связано с особенностями структуры этой донорной молекулы: наличием большего числа атомов серы (8) и некопланарных концевых CH2-CH2 групп. Атомы серы обеспечивают взаимодействие между стопками, а некопланарные $CH_2-CH_2$ группы создают некоторые стерические препятствия для взаимодействий между катион-радикалами внутри стопок. Вскоре мы установили, что при наложении на кристаллы $(BEDT-TTF)_2I_3$ небольшего давления (~ 0.5 кбар) возникает новое сверхпроводящее состояние с $T_C$ = 8$K$. В дальнейшем нам удалось стабилизировать эту фазу при нормальном давлении и установить, что в отличие от фазы с $T_c$ = 1.4$K$, в структуре которой существует беспорядок, связанный с расположением концевых $CH_2-CH_2$ групп, фаза с $T_c$ = 8$K$ являются полностью упорядоченной.

    Открытие квазидвумерных органических сверхпроводников оказало большое влияние на направление поиска органических сверхпроводников и привело к бурному развитию химии производных BEDT-TTF и синтезу многочисленных солей на основе BEDT-TTF и его производных с анионами разного типа. В результате к настоящему времени число органических сверхпроводников семейства BEDT-TTF насчитывает более сотни, а их $T_c$ возросла до 12.6 $K$. По характеру кристаллической и электронной структуры и ряду свойств (низкая концентрация носителей заряда, смешанное состояние окисления, высокие значения верхних критических полей, предполагаемое $d$-спаривание и др.) слоистые органические сверхпроводники близки к высокотемпературным металлооксидным сверхпроводникам и рассматриваются как модельные объекты для изучение механизма сверхпроводимости в ВТСП. Необходимо также отметить, что поиск органической сверхпроводимости привел к появлению нового класса низкоразмерных твердых тел, изучение которых дало много новых важных результатов в разных областях физики твердого тела: переходы металл-диэлектрик и металл-сверхпроводник, сосуществование сверхпроводящего и диэлектрического переходов, волны зарядовой и спиновой плотности, фазовые переходы, индуцируемые магнитным полем, состояние квантовой спиновой жидкости, гигантские квантовые и полуклассические осцилляции магнетосопротивления и др.[2].

[1] Э.Б. Ягубский, И.Ф. Щеголев , В.Н. Лаухин, П.А. Кононович, М.В. Карцовник, А.В. Зварыкина, Л.И. Буравов  Письма в ЖЭТФ  39, 12 (1984).

[2] The Physics of organic superconductors and conductors", Springer Ser. in Materials Science, v. 110. ed. by A.G. Lebed, Springer-Verlag, (2008).

С.В. Иорданский

Институт Теоретической Физики им.  Л.Д. Ландау,  Черноголовка, Россия

В  начале 1980 года я встретился с Ю.А.Бычковым (мы были  соавторами  ряда предшествовавших публикаций), который только что просмотрел текущую физическую литературу (что он делал регулярно). Он сказал, что  после прочтения в Technical Report ISSP Ser A 993(1979)(Япония) статьи H.Fukujama обнаружилось новое поле деятельности. Статья была  посвящена исследованию предполагаемого Вигнеровского  кристалла, образованного  двумерных электронами в рекордно сильном магнитном поле, энергия взаимодействия с которым была существенно больше энергии кулоновского взаимодействия между электронами.  Проблема состояла в  том, что уровни Ландау для электрона в магнитном поле многократно вырождены. Это делает учет     кулоновского взаимодействия, снимающего это вырождение, фактически невозможным даже по теории  возмущений. Вскоре к нам присоединился Г.М.Элиашберг, вместе с которым  была предпринята попытка учета Кулоновского взаимодействия для небольшого числа электронов в первом порядке теории возмущений.

Оказалось, что эту задачу можно решить аналитически только для двух или трех взаимодействующих электронов. Для большего числа электронов нужно решать секулярную задачу, порядок  которой  возрастает вместе с их числом. Единственное простое решение соответствует случаю, когда все электроны находятся на одном уровне Ландау с полностью антисимметричной волновой функцией с постоянной плотностью, которая соответствует локальному полному заполнению этого уровня. Работа [1]была первой попыткой реализации идеи теории возмущений для многоэлектронной  задачи. Сама идея  была признана физическим сообществом и появились работы на эту тему. Однако,  сколько-нибудь оправданного вычислительного подхода  для получения состояний с частичным  заполнением уровня Ландау не возникло.

В это время мы еще ничего не знали ни об открытии (K.Klitzing.1981) целочисленного квантового эффекта Холла (ЦКЭХ), ни об открытии (Tsui, Stoermer, Gоssard.1982) дробного квантового эффекта Холла (ДКЭХ). Мы узнали об этом на советско-американском симпозиуме осенью (1982) в Швеции. Начался всеобщий ажиотаж в области физики двумерных электронов в сильном магнитном поле. Основные усилия были направлены на поиски энергетической щели, отделяющей занятые электронами состояния от незанятых, необходимой для существования ДКЭХ. Наибольшего успеха добился американец R.Laughlin (1983), сконструировавший многочастичную функцию (функцию Лафлина) из волновых функций нижшего уровня Ландау с плотностью 1/3 от  плотности полностью заполненного квантового уровня. Однако, доказательства существования энергетической щели он не получил (см., например, [2]).

Физическая причина появления щели оказалась связанной с термодинамической неустойчивостью состояний с неполностью заполненным уровнем Ландау и образованием вихрей. Дело в том, что вихревая скорость электронов сопровождается появлением магнитного момента тока, что при фиксированном внешнем  магнитном поле (слабым краевым током и вызываемым им магнитным полем можно пренебречь) может существенно понизить свободную энергию. Понижение свободной энергии оказывается пропорциональным площади образца, в то время как внутренняя энергия растет только как логарифм его размеров [3]. Это явление (образование вихревой структуры) аналогично появлению вихрей при вращении квантовой  жидкости. Таким образом,в двумерной системе возникают периодические вихревые решетки. Энергетические щели в "вихревом кристалле"  возникают только при рациональном числе квантов потока "эффективного" поля (суммы потока внешнего магнитного поля и потока от вихрей). Это дает объяснение всем наблюдаемым плотностям в ДКЭХ [3].

Другой части  работы [1] повезло больше. Были рассмотрены электронные возбуждения для полностью заполненного низшего уровня Ландау когда один электрон возбуждался и переходил на следующий уровень Ландау  с сохранением направления спина, либо, наоборот, менял только направление спина. Такое возбуждение  нейтрально, т.к. состоит из электрона и дырки. Поэтому его импульс должен сохраняться несмотря  на наличие внешнего магнитного поля. Образуется нейтральный экситон. Для экситона Мотта в кристалле это было показано Л.П. Горьковым и  И.Е.Дзялошинским [4]. Конкретные вычисления были выполнены И.В.Лернером и Ю.Е.Лозовиком [5]. Рассмотренный нами случай несколько отличается от экситона Мотта и допускает прямую аналитическую конструкцию волновой функции экситона и прямое вычисление коммутатора с гамильтонианом кулоновского взаимодействия. Это дает непосредственное  выражение для энергии такого экситона, зависящее только от его импульса (в обоих случаях, и  кулоновского, и спинового экситона). Это было все довольно очевидно и просто, так что в статье приведены только ответы для энергии. Найденные в статье подходы были использованы  позже для различных более сложных возбуждений.

В заключение хочу сказать, что публикация статьи за границей в 80 годы прошлого века была довольно сложным делом т.к. рукопись отправлялась по  почте, что занимало многие месяцы. Наша работа была опубликована в Письмах ЖЭТФ, которые, к счастью, еще регулярно  читались за рубежом. Работа C.Kallin,B.Halperin [6] на ту же тему (экситон) была опубликована три года спустя в Phys. Rev. B. Неизвестный мне рецензент обратил внимание авторов на то, что основной результат был уже получен  ранее. Авторы были вынуждены включить ссылку на нашу работу, но их работа была опубликована в Phys.Rev. и дальнейшие зарубежные ссылки были, как правило, только на их работу.

Моя работа [7] по КЭХ, выполненная во время симпозиума в Швеции, была отправлена оттуда же почтой  в Solid State Communications. Редакция журнала  присылала мне в СССР почтой свои замечания, я, для экономии времени, отправлял ответы со случайными людьми, ехавшими за границу. Все это привело к длительной задержке и я был близок к потере приоритета. Хорошо жить в эпоху электронной почты!

[1] Ю.А.Бычков, С.В.Иорданский, Г.М.Элиашберг Письма в ЖЭТФ 33,152 (1981)

[2] Квантовый эффект Холла, Москва, МИР(1989)

[3] Иорданский С.В., Любшин Д.С., J.Phys.: Condens. Matter  21, 405601 (2009)

[4] Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е., ЖЭТФ 53, 717 (1967)

[5]  Лернер И.В.,Лозовик Ю.Е., ЖЭТФ 78,1167 (1980)

[6] Kallin C., Halperin B.,Phys.Rev.  B 30 ,5655 (1984)

[7] Iordansky S. V., Sol. State Comm.,  43, 1 (1982).

В работе [1] построен формализм для расчета процессов типа $a\to bc$ в аморфных средах при высоких энергиях (когда энергии частиц $a$, $b$ и $c$ много больше их масс) индуцированных многократным рассеянием быстрых частиц на частицах среды. Подход применим как в КЭД для обычных материалов (например,  для излучения фотона электроном $e\to \gamma e$), так и в КХД (например, для излучения глюона быстрым кварком $q\to g q$ в горячей кварк-глюонной плазме или в холодной ядерной материи). При вычислении таких процессов необходимо учитывать эффект Ландау-Померанчука-Мигдала (ЛПМ) [2,3], связанный с тем, что длина когерентности/формирования для перехода $a\to bc$ при высоких энергиях становится большой
и процесс происходит при взаимодействии с большим числом частиц среды. Задача становится особенно сложной в неабелевом случае когда все частицы взаимодействуют со средой.
Формализм [1] справедлив для произвольной интенсивности подавления сечения из-за эффекта ЛПМ. Он позволяет аккуратно учитывать кулоновские эффекты в многократном рассеянии и работает для бесконечной среды и среды конечного размера. Спектр по фейнмановской переменной $x_{b}=E_{b}/E_{a}$ был выражен через функцию Грина двумерного уравнение Шредингера с мнимым потенциалом, которая описывает эволюцию в среде на световом конусе $t=z$ ($z$ координата вдоль импульса начальной быстрой частицы $a$) в поперечной плоскости фиктивной системы $bc\bar{a}$ из точечной в точечную. В системе $bc\bar{a}$ частица $\bar{a}$ расположена в центре масс пары $bc$.  В этом уравнении Шредингера роль времени играет продольная
координата $z$, а шредингеровская масса равна $x_{b}(1-x_{b})E_{a}$, которая является приведенной массой для движения системы $bc$ в плоскости прицельных параметров (в которой роль масс играют энергии частиц). Мнимый потенциал пропорционален произведению плотности среды и сечения взаимодействия с частицей среды системы $bc\bar{a}$. Вывод основан на представлении волновой функции каждой быстрой частицы в форме произведения плоской волны $\exp{[E(t-z)}]$ и медленно меняющейся "поперечной'' волновой функции $\phi(\vec{\rho},z)$, которая удовлетворяют двумерному уравнению Шредингера с массой $M=E$ ($E$ энергия частицы). Каждая поперечная волновая функция записывалась через функцию Грина. Это позволяет после  интегрирования по переменной $t-z$ в каждой вершине (приводящее к сохранению "массы'' $M_{a}=M_{b}+M_{c}$  в вершинах $a\to bc$) получить диаграмное представление амплитуд в терминах поперечных пропагаторов. Используя фейнмановское  представлении интеграла по путям для поперечных пропагаторов можно получить сечение процесса $a\to bc$ в форме интеграла по путям в поперечной плоскости на световом конусе $t=z$.  Функциональный интеграл для амплитуды, естественно, не вычисляется аналитически. Однако, оказалось, что для сечения процесса после усреднения по состояниям среды все функциональные интегрирования, за исключением, интеграла по поперечному расстоянию между $b$ и $c$ могут
быть вычислены аналитически аналогично функциональному интегралу для матрицы плотности электронов [4]. Остающийся интеграл по относительному поперечному вектору $\vec{\rho}_{b}-\vec{\rho}_{c}$ и дает, упомянутую выше, функцию Грина для системы $bc\bar{a}$.   Важной чертой полученного диаграмного представления для сечения является
то, что, для случая КХД, вычисление всех цветовых факторов становится тривиальным.

Анализ ЛПМ эффекта и энергетических потерь партонов в КХД материи представляет существенный общетеоретический и практический интерес. Особая актуальность работы во время ее публикации связана с интересом к радиационным энергетическим потерям быстрых партонов в кварк-глюонной плазме, рождение которой ожидалось в соударениях тяжелых ионов в будущих экспериментах на RHIC и LHC. Ожидалось, что энергетические потери быстрых кварков и глюонов (рождающихся в жестких процессах) при прохождении через кварк-глюонную плазму будут приводить к подавлению спектров адронов с большими поперечными импульсами (подобно ослаблению излучения от ядерного реактора в бетонной защите), и по величине этого подавления можно будет извлекать информацию о плотности плазмы. В последующем это подтвердилось, и анализ подавления спектров (обычно это явление называется "jet quenching'') стал одним из основных методов диагностики КХД материи в соударениях тяжелых ионов на коллайдерах RHIC и LHC. Анализ [1] оказался первым последовательным вычислением радиационных потерь в КХД материи. Предыдущие попытки их вычисления [5-7], даже в рамках приближения мягких глюонов, не были успешны.Практически одновременно с [1] излучение глюонов в КХД материи было рассмотрено в работах [8], в которых рассматривалась только ситуация сильного ЛПМ эффекта и в приближении мягких глюонов. Однако, в последующем стало ясно, что вычисления [8] содержат коцептуальные ошибки, которые были исправлены позднее в [9].

Появившиеся после [1] подходы [10, 11] к радиационным потерям в КХД материи являются менее общими. Формализм  [10] учитывает первые несколько перерассеяний быстрых партонов в среде в приближении мягких глюонов, и применим только для плазмы малого размера. Формулы [11] могут быть получены из [1] простым разложением по плотности. Формулы [11], полученные методами теории поля при конечных температурах в импульсном представлении для безграничной плазмы, могут быть получены из [1] при использовании мнимого потенциала вычисляемого через глюонный поляризационный оператор [12]. Однако, в отличии от [11], подход [1] работает и для плазмы конечного размера с переменной плотностью. Таким образом формализм [1] и сегодня является наиболее мощным методом для расчета радиационных потерь в КХД материи.
 
Следует сказать, что во время выполнения работы [1] имелся значительный интерес и к ЛПМ эффекту в КЭД вызванный первым высокоточным измерением эффекта для излучения фотонов электронами в SLAC [13]. Известный подход Мигдала [3] основанный на приближении Фоккера-Планка имеет погрешности существенно больше точности достигнутой в эксперименте [13]. В подходе [1] приближение Фоккера-Планка соответствует замене точной функции Грина осцилляторной. Анализ вне рамок осцилляторного приближения в рамках формализма [1] выполненный в [14, 15] показал согласие с данными SLAC [13] и с более поздними данными CERN SPS [16]c точностью на уровне радиационных поправок.
 
Формализм [1] является теоретической основой для широко известного подхода к jet quenching Armesto-Salgado-Wiedemann [17]. Формулировка в терминах интеграла по путям  и диаграмная техника работающая непосредственно с вероятностями процессов данная в [1] оказалась удобна при исследовании модификации  струй в кварк-глюонной плазме при учете процессов с излучением произвольного числа глюонов [18, 19]. Эти исследования находится сейчас в начальной стадии и представляют большой интерес для физики соударений тяжелых ионов
при энергиях RHIC и LHC и будущих коллайдеров.

[1] B.G. Zakharov, JETP Lett.63, 952 (1996).
[2] L.D. Landau and I.Ya. Pomeranchuk,  Dokl. Akad. Nauk SSSR 92, 535, 735 (1953).
[3] A.B. Migdal,  Phys. Rev. 103, 1811 (1956).
[4] B.G. Zakharov, Sov. J. Nucl. Phys. 46, 92 (1987)
[5] M. Gyulassy and X.N. Wang, Nucl. Phys. B 420, 583 (1994).
[6] X.N. Wang, M. Gyulassy, and M. Plumer, Phys. Rev. D 51, 3436 (1995).
[7] R. Baier, Y.L. Dokshitzer, S. Peigne, and D. Schiff, Phys. Lett. B 345, 277 (1995).
[8] R.Baier, Y.L.Dokshitzer, A.H.Mueller, S.Peigne, and DSchiff, Nucl. Phys. B 483, 291 (1997);  ibid. Bf 484, 265 (1997).
[9] R.Baier, Y.L.Dokshitzer, A.H.Mueller, and D.Schiff, Nucl. Phys. B 531, 403 (1998).
[10] M.Gyulassy, P.Levai and I.Vitev, Nucl. Phys. B 594, 371 (2001).
[11] P.Arnold, G.D.Moore, and L.G.Yaffe, JHEP  0206, 030 (2002).
[12] P. Aurenche and B.G. Zakharov, JETP Lett. 85, 149 (2007).
[13] P.L. Anthony, et al. (E-146 SLAC Collaboration). Phys. Rev. Lett. 75, 1949 (1995); Phys. Rev. D 56, 1373 (1997)
[14] B.G.Zakharov, JETP Lett. 64, 781 (1996); Phys. Atom. Nucl. 62, 1008 (1999).
[15] B.G.Zakharov, JETP Lett.78, 759 (2003).
[16] H.D.Hansen, U.I.Uggerhoj, C.Biino et al., Phys. Rev. Lett. 91, 014801 (2003).
[17] N. Armesto, C.A. Salgado, and U.A. Wiedemann, Phys. Rev. D 69, 114003 (2004).
[18] Y. Mehtar-Tani, C.A. Salgado, and K. Tywoniuk, JHEP  1210, 197  (2012).
[19] J.P. Blaizot, F. Dominguez, E. Iancu, and Y. Mehtar-Tani, JHEP 1301, 143 (2013).

 

В нашей с Александром Поляковым работе "Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика"  [1] были обнаружены метастабильные состояния ферромагнетика Гейзенберга. Состояния такого типа носят теперь имя инстантоны.

   Главной побудительной причиной для поиска и обнаружения этих состояний была гипотеза о том, что такие состояния создают конечную корреляционную длину при сколь угодно малых температурах, препятствуя тем самым спонтанному нарушению симметрии.  Эта гипотеза в дальнейшем была подтверждена вычислением статсуммы модели методом перевала с учетом вкладов инстантонов.

  На самом деле была и другая причина для поиска таких состоянии. Дело в том, что  квантовая теория поля ,описывающая двумерный ферромагнетик Гейзенберга во многих отношениях формально похожа на четырехмерную неабелеву калибровочную теорию или теорию Янга-Миллса. А в начале 60-х годов Гелл-Маном была предложена идея, что элементарные частицы состоят из кварков. С начала 70-х теоретики стали предполагать, что теорией, описывающей взаимодействие кварков,является теория Янга-Миллса.

     Эксперименты по изучению структуры протонов с одной стороны подтвердили наличие в них кварков, с другой стороны в свободном состоянии, то есть по отдельности, кварки не наблюдаются. Это парадокс называется Невылетанием кварков или Конфайнментом цвета .

    Как показал Г. т' Хофт [2] кварки не будут вылетать, если в калибровочной теории не происходит спонтанного нарушения локальной калибровочной симметрии. В свою очередь препятствием для спонтанного нарушения симметрии являлись бы метастабилные состояния, инстантоны, если они возникают в теории Янга-Миллса.

   Такие состояния были обнаружены в нашей другой работе с Поляковым, Шварцем и Тюпкиным [3]

[1] A.A. Belavin, A.M. Polyakov, JETP Letters  22, 245, (1975)

[2] G. 't Hooft Nuclear Physics  B 33, 173 (1971).

[3] А.А. Belavin, А.М. Polyakov, А.S. Schwartz, Yu.S. Tyupkin, Phys.Lett. 59 B, 85 (1975)

Работа [1] возникла в ходе теоретических исследований в совершенно новой в то время области создания и регистрации неравновесной спиновой поляризации носителей в полупроводниках. Эта область возникла в 1968 году после пионерскoй работы Лампеля [2], распространившей на физику твердого тела идей и методов Кастлера [3] и его школы по оптической ориентации и выстраиванию угловых моментов атомов газа. Как для атомов, так и для электронов в полупроводнике, поглощение циркулярно поляризованного света приводит к ориентации электронных спинов. Из-за этого люминесценция (рекомбинационное излучение) тоже оказывается циркулярно поляризованной, что легко регистрируется.

      В промежутке между созданием поляризованных по спину электронов в зоне проводимости полупроводника и их рекомбинацией, на спины можно воздействовать магнитным полем, кроме того, происходит спиновая релаксация, а также интересные процессы взаимодействия между электронными спинами и спинами ядер решетки. Все эти тонкие явления могут быть (и были) детально изучены с помощью простых экспериментов, выполненных в основном небольшими группами в ФТИ им. А.Ф. Иоффе в Ленинграде, и в Политехнической школе в Париже.

      В этой статье предсказано новое явление: ориентация электронных спинов током, называемое теперь Спиновым Эффектом Холла и впервые введено понятие спинового тока. Явление родственно Аномальному Эффекту Холла в ферромагнетиках, открытого самим Холлом в 1881 году, остававшимся совершенно непонятным в течении 70 лет, и не до конца понятым даже сегодня. Говоря просто, механизм состоит в том, что благодаря спин-орбитальному взаимодействию поток электронов со спинами вверх отклоняется, условно говоря, направо, а поток со спинами вниз - налево, совершенно аналогично закрученному теннисному мячу (эффект Магнуса). В ферромагнетике электроны поляризованы по спину, поэтому при пропускании тока они будут несколько отклоняться вбок, перпендикулярно направлениям тока и намагниченности, приводя к появлению квази-холловского напряжения.

      В немагнитном проводнике спиновая поляризация отсутствует, однако по-прежнему этот "эффект Магнуса" существует, хотя он и не приводит к возникновению электрического тока. Однако возникает спиновый ток: спины-вверх идут направо, а спины-вниз - налево. Это не приводит к наблюдаемым эффектам в толще проводника, однако у боковых границ происходит накопление спинов, в результате должна появиться спиновая поляризация (противоположных знаков) на боковых гранях проводника.

      Это предсказание не вызвало большого интереса в то время (хотя так называемый "обратный спиновый эффект Холла" был обнаружен[4]), прежде всего из-за отсутствия экспериментальных возможностей измерить относительно слабую спиновую  поляризацию в тонких ($~1мкм$) приповерхностных слоях. Ситуация изменилась через 30 лет, когда были разработаны чувствительные методы регистрации спиновой поляризации, основанные на фарадеевском (или керровском) вращении. В 2004 году предсказанная поляризация спинов током была впервые обнаружена экспериментально [5]. К настоящему времени спиновому эффекту Холла посвящены сотни публикаций, экспериментальных и теоретических. Эффект наблюдался не только в полупроводниках, но и в металлах, как при криогенных, так и при комнатной температурах,  подробнее см. обзор [6]. Надежды практического применения этого явления основаны главным образом на возможности переключения магнитных доменов путем инжекции спиновых токов в ферромагнитные пленки.

[1] Дьяконов М.И, Перель В.И., Письма в ЖЭТФ 13, 206 (1971)

[2]  G. Lampel, Phys. Rev. Lett. 20, 491 (1968)

[3]   A. Kastler, Science, 158, 214 (1967)

[4]  N.S. Averkiev and M.I. Dyakonov, Sov. Phys. Semicond. 17, 393 (1983); A.A. Bakun et al, JETP Lett. 40, 1293 (1984)

[5]  Y.K. Kato et al, Science 306, 1910 (2004); J. Wunderlich et al., Phys. Rev. Lett. 94, 047204 (2005)

[6]   M.I. Dyakonov and A.V. Khaetskii, "Spin Hall Effect", in: Spin Physics in Semiconductors,  M.I. Dyakonov (ed), Springer, Berlin (2008), p. 211

Работа [1] является одной из последних работ периода романтической физики. В это время для успеха экспериментатору  было необходимо  не только удачно поставить задачу, не только тщательно и грамотно провести измерения, но и своими руками, без применения высоких тхнологий приготовить объект исследования. Цель эксперимента состояла в проверке предсказания теории Альтшулера-Аронова-Спивака [2], в которой  было обращено внимание на важность вклада интерференционных эффектов  в транспортные свойства электронных систем при низких температурах.

Представим себе   цилиндр из изолятора, покрытый тонкой пленкой нормального металла. Амплитуда вероятности для электрона вернуться в какую-либо точку пленки может быть представлена как сумма амплитуд по всем диффузионным путям, стартующим и оканчивающимся в этой точке. Среди таких путей есть группа выделенных траекторий, состоящая из пар, в каждой из которых электрон последовательно рассеивается на одних и тех же примесях, но в обратном порядке. Изменение фазы электронной волновой функции при движении по каждому из путей пары одинаково, поэтому для таких пар для определения вклада в  вероятность вернуться нужно вначале суммировать модули амплитуды вероятностей и лишь затем по суммарной амплитуде вычислить вероятность. Как результат,  вероятность для электрона вернуться на исходную позицию возрастает, что означает увеличивает электрическое сопротивление пленки.

Теперь введем магнитное поле, ориентированное вдоль оси циилиндрап. Оно приводит к появлению дополнительного изменения фазы у электронной волновой функции, пропорционального магнитному потоку, пронизывающему замкнутую электронную траекторию. Изменения фазы на двух траекториях пары равны по модулю и противоположны по знаку. Поэтому разность фаз набранных на траекториях пары будет равна целому числу $n$, умноженному на $2\pi$ всякий раз, когда магнитныый поток через сечение цилиндра будет равен $\phi_0=n hc/2e$. Появятся квантовые осцилляции с совершенно нетипичеым для нормального металла периодом. Для наблюдения предсказанного эффекта необходимо, чтобы диаметр цилиндра был сушественно меньше, чем то расстояние, на котором электронная волновая функция теряет память о фазе, в результате рассеяния на фононах, например.

Авторам прежде всего предстояло изготовить цилиндр из изолятора с диаметром масштаба микрона, чтобы при гелиевой температуре иметь траекторию с памятью о фазе, превышающую по длине диаметр цилиндра. Эта задача была решена с помощью арбалета, стрела которого после выстрела растягивала предварительно расплавленный кварц до состояния нити требуемого диаметра. Поиск нити или ее частей после выстрела представлял собой следующую нелегкую задачу.

В квачестве нормального металла был выбран магний, про пленки которого было известно, что они не переходят в сверхпроводящее состояние по мнгьшей мере до температуры в $50 mK$. То, что пленка остается в нормальном состоянии при температуре измерений $1.12K$ было существенно, поскольку появление квантовых осцилляций с магнитным потоком, определяемым двойным электронным зарядом (соответствующим заряду куперовской пары) не удивительно в сверхпроводнике.

Пленки были изготовлены испарением магния в вакуумной камере с охлаждремыми жидким азотом стенками в атмосфере  чистого гелия с давлением $10^{-3} mm Hg$. Две из них, длиной $1 cm$,  были использована для двухконтактных измерений сопротивления в магнитном поле. На этих образцах были обнаружены осцилляции сопротивления в слабых $H\leq 50 Oe$ магнитных полях. У одного из исследванных образцов с помощью электронного микроскопа был измерен диаметр цилиндра, равный $1.58 \mu m$,  и показано, что период осцилляций действительно соответствует удвоенному заряду электрона.

Эксперимент [1] породил большую серию работ по исследованию аналога эффекта Ааронова-Бома в пленках и двумерных электронных системах. Объекты исследования изготовлялись гораздоь более современными методами,   электронно-лучевой литографией, например.

[1] D. Yu. Sharvin and Yu. V. Sharvin Письма в ЖЭТФ 34, 285 (1981).

[2]  B.L.Alt'shuler, A.G. Aronov, B.Z. Spivak Письма в ЖЭТФ 33, 101 (1981).

Работа [1] была написана непосредственно после публикации экспериментов по разрешенной по углу фотоэмиссии  (ARPES) на высокотемпературном сверхпроводнике $Bi_2Sr_2CaCu_2O_8$ , показавших, что электронный спектр в этом купратном сверхпроводнике являеися бесщелевым [2]. В спектре были обнаружены линии узлов (nodal lines). Возник вопрос о том, какими  могли бы быть наблюдаемые следствия бесщелевого спектра в сверхпроводниках.

Ответ пришел из физики сверхпроводников с тяжелыми фермионами  и бесщелевым электронным спектром, которая в свою очередь базировалась на физике сверхтекучих жидкостей, в частности, сверхтекучего $^3He-A$, где фермионные возбуждкемя также являются бесщелевыми. В отличие от сверхпроводников, в сверхтекучей жидкости фермионные квазичастицы - Боголюбовские возбуждения- являются электронейтральными. Тем не менее их свойства весьма похожи.

 Если спектр квазичастиц имеет щель, то плотность состоягий ($DOS$)  равна нулю для всех состояний в пределах щели $ |E|<\Delta$. Если же щель местами схлопывается (имеет узлы), то  плотность состояний остается равной нулю при $E=0$, но не равна нулю для любой энергии $|E|>0$.  Последнее означает, что разного рода возмущения энергетического спектра могут приводить  к появлению конечной плотности состояний при $E=0$. В частности, в  сверхтекучих жидкостях это может быть вызвано потоком массы,который приводит к  допплеровскому сдвигу квазичастичного спектра.

Что же происходит в заряженной электронной жидкости в сверхпроводниках? При наложении на сверхпроводник внешнего магнитного поля $B$ в сверхпроводящем материале появляется решетка вихрей Абрикосова. В каждом вихре имеется  циркулярный электрический ток, который затухает пропорционально обратному расстоянию до центра (кора)  вихря, $j\propto1/r$, и производит допплеровский сдвиг энергии электронов. Таким образом, если в спектре сверхпроводника есть зануление энергетической щели, то в вихревом состоянии  сверхпроводник должен иметь конечную плотность состояний  при нулевой энергии. Проинтегрировав по всем вихрям получим, что, если в электронном спектре сверхпроводника имеются линии узлов, то плотность состояний должна быть пропорциональна $\sqrt B$, а теплоемкость пропорциональна $T\sqrt B$. Для сверхпроводников с точками узлов  в спектре плотность состояний и теплоемкость пропорциональны $B ln(1/B)$  и $TB ln(1/B)$, соответственно. Наконец, в обычных сверхпроводниках со щелью в спектре возбуждений ненулевая плотность состояний обусловлена только квазичастицами в коре вихря, где квазичастицы бесщелевые. В этом случае плотность состояний пропорциональна плотности вихрей  и, тем самым, линейна по $B$. Все это было коротко упомянуто в ранней работе [3], посвященной сверхпроводникам с тяжелыми фермионами. В статье, опубликованной в Письмах в ЖЭТФ, представлено подробное обсуждение.

Теплоемкость, линейная по $T$ и пропорциональная $\sqrt B$, впервые была обнаружена в Стэнфорде в экспериментах на $YBa_2Cu_3O_6$ [4]. В настоящее время пропорциональность плотности состояний $\sqrt B$ служит для идентификации линии узлов в сверхпроводниках и известна как эффект Воловика.

1. G E Volovik, JETP Lett. 58 ,469 (1993).

2. Z.-X. Shen, et al., Phys. Rev. Lett. 70, 1553 (1993).

3. G E Volovik, J. Phys. C: Solid State Phys. 21 L221 (1988).

4. K. A. Moler, et al., Phys. Rev. Lett. 73, 2744{2747 (1994).